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New PDF release: Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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Figur 12): Zu dem uneigentlichen Parallelogramm (P, Q, R, S) gibt es Hilfspunkte (U, V ), so dass (P, Q, U, V ) und (R, S, U, V ) eigentliche Parallelogramme sind. 2 (4) ). Dann ist (U, R, W, S, V, Q) eine (p)-Konfiguration. Da in (d)-Ebenen auch (p) gilt, ist g(U, Q) g(W, S) . Somit sind (P, R, U, W ) und (Q, S, U, W ) eigentliche Parallelogramme und daher (P, R, Q, S) ein uneigentliches Parallelogramm. ✷ U W V ❞ ❍ ❍ ❆✁❞ ❆✁❞ ✁ ✁ ❆ ❍ ❍ ✁ ❍ ❍ ✁ ❆ ❆ ✁ ❆ ✁ ✁ ❍ ❍ ❆ ❆ ✁ ✁ ❍ ❍ ✁ ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ❍ ❍ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ❆ ✟ ❆ ❍ ✟ ❍ ✁ ✁ ✁ ❍ ✁ ❍ ❆ ❆ ✁ ✁ s s s ❍ ❍ ❆s ✁ ✁❆ ✁ P R Q S Figur 12 ¨ In den Bezeichnungen des Beweises gelten die Aquivalenzen (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv)“ und damit ” (v) ⇔ (vi) ⇔ (vii) ⇔ (viii)“ in beliebigen affinen Inzidenzebenen.

Es sei nun ϑ = id . Dann ist ϑ nach der Definition der Translationen fixpunktfrei; also sind insbesondere ϑ(A) = A und ϑ(B) = B. 1. Fall: B liegt nicht auf g(A, ϑ(A)) . (vgl. Figur 21 a) Dann ist A = B und wegen der Bijektivit¨ at von ϑ damit ϑ(A) = ϑ(B). Die Geraden g(A, ϑ(A)) und g(B, ϑ(B)) sind Spuren (vgl. 5(a) Fixgeraden. 3) im Widerspruch zur Voraussetzung ϑ = id. Also sind g(A, ϑ(A)) und g(B, ϑ(B)) parallel. 5 die Geraden g(A, B) und ϑ(g(A, B)) = g(ϑ(A), ϑ(B)) parallel. Somit ist (A, ϑ(A), B, ϑ(B)) ein (eigentliches) Parallelogramm.

Dilatationen verhalten. Satz : In (d)-Ebenen gilt: (a) F¨ ur jede Parallelverschiebung τ und f¨ ur jede Kollineation κ ist auch die Konjugierte κ ◦ τ ◦ κ−1 eine Parallelverschiebung. Genauer gilt f¨ ur alle Punkte P, Q : κ ◦ τP Q ◦ κ−1 = τκ(P ) κ(Q) . Hat die Parallelverschiebung τ die Richtung Πg , so hat κ ◦ τ ◦ κ−1 folglich die Richtung Πκ(g) . (b) F¨ ur die Gruppe (T, ◦) aller Parallelverschiebungen und f¨ ur alle Kollineationen κ gilt κ ◦ T ◦ κ−1 = T . 9 Beweis : (a) F¨ ur alle Punkte P, Q, Y ist (P, Q, Y, τP Q (Y )) nach der Definition von τP Q ein Parallelogramm.

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Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen by Artur Bergmann, Erich Baumgartner


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